Question

在數列{a_n}中，a₁=1，2an+1=(1+

1

n

)2an．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令bn=an+1-

1

2

an，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）求數列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，由此可知an=

n2

2n-1

．
（Ⅱ）由題設條件知Sn=

3

2

+

5

22

++

2n+1

2n

，

1

2

Sn=

3

22

+

5

23

++

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

，再由錯位相減得

1

2

Sn=

3

2

+2(

1

22

+

1

23

++

1

2n

)-

2n+1

2n+1

，由此可知Sn=5-

2n+5

2n

．
（Ⅲ）由Sn=(a2+a3++an+1)-

1

2

(a1+a2++an)得Tn-a1+an+1-

1

2

Tn=Sn．由此可知T_n=2S_n+2a₁-2a_n+1=12-

n2+4n+6

2n-1

．

解答：解：（Ⅰ）由條件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，又n=1時，

an

n2

=1，
故數列{

an

n2

}構成首項為1，公式為

1

2

的等比數列．從而

an

n2

=

1

2n-1

，即an=

n2

2n-1

．
（Ⅱ）由bn=

(n+1)2

2n

-

n2

2n

=

2n+1

2n

得Sn=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

，

1

2

Sn=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

，
兩式相減得：

1

2

Sn=

3

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n+1

2n+1

，所以Sn=5-

2n+5

2n

．
（Ⅲ）由Sn=(a2+a3+…+an+1)-

1

2

(a1+a2+…+an)得Tn-a1+an+1-

1

2

Tn=Sn．
所以T_n=2S_n+2a₁-2a_n+1=12-

n2+4n+6

2n-1

．

點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．