Question

【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直.（注： 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)， 恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線(xiàn)的斜率，結(jié)合兩直線(xiàn)垂直的條件，可得的方程，解出即可；（2）求出單調(diào)區(qū)間可得極值點(diǎn)1，令，可得取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)， ，令，運(yùn)用二次求導(dǎo)可得函數(shù)，得結(jié)論.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，所以，

又據(jù)題意，得，所以，所以.

（2），

當(dāng)時(shí)， ， 為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ， 為減函數(shù).

所以函數(shù)僅當(dāng)時(shí)，取得極值.

又函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以，所以.

故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）當(dāng)時(shí)， ，令，則

，

再令，則，

又因?yàn)?/span>，所以.

所以在上是增函數(shù)，

又因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)， .

所以在區(qū)間上是增函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)， ，又，∴恒成立，即原不等式成立.