Question

若函數f（x）=-

1

b

eax在x=0處的切線l與圓C：

x=cosθ y=sinθ

（θ∈[0，2π））相離，則P（a，b）與圓C的位置關系是
（　�。�

A．在圓外

B．在圓內

C．在圓上

D．不能確定

Answer 1

分析：利用導數求出曲線f（x）=-

1

b

eax在x=0處的切線l的方程，化圓的參數方程為普通方程，由圓心到直線的距離大于半徑得到

a2+b2

＜1，說明點P（a，b）與圓C的位置關系是點在圓內．

解答：解：由f（x）=-

1

b

eax，得f′(x)=-

1

b

eax(ax)′=-

a

b

eax．
∴f′(0)=-

a

b

．
即函數f（x）=-

1

b

eax在x=0處的切線l的斜率為-

a

b

．
由f(0)=-

1

b

，則切點為（0，-

1

b

），
∴切線方程為：y+

1

b

=-

a

b

(x-0)，
整理得：ax+by+1=0．
由圓C：

x=cosθ y=sinθ

，化為普通方程得：x²+y²=1．
直線l與圓相離，則圓心（0，0）到直線距離大于半徑r=1．
∴

1

a2+b2

＞1，即

a2+b2

＜1．也就是P到圓心距離小于圓的半徑．
∴P在圓內．
故選：B．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了點到直線的距離公式，體現了整體運算思想方法，是中檔題．