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已知橢圓C：
x2
25
+
y2
9
=1的右焦點為F，過F作與坐標軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點，線段AB的中垂線l′交x軸于點M．
（1）若BF=2，求B點坐標；
（2）問：
AB
FM
是否為定值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設B（x1，y1），由橢圓的第二定義得：
2
25
4
-x1
=
4
5
，由此能求出B點坐標．
（2）設直線l的方程為y=k（x-4），不妨取B（
15
4
，
3
7
4
），得直線l的方程為y=-3
7
（x-4），聯立
y=-3
7
(x-4)
x2
25
+
y2
9
=1
，得176x2-1400x+2775=0，解得A（
185
44
，-
27
7
44
），B（
15
4
，
3
7
4
），由此能求出
AB
FM
為定值
5
2
．
解答： 解：（1）∵橢圓C：
x2
25
+
y2
9
=1的右焦點為F，
過F作與坐標軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點，
BF=2，設B（x1，y1）
∴由橢圓的第二定義得：
2
25
4
-x1
=
4
5
，
解得x1=
15
4
，
∵B（x1，y1）在橢圓C：
x2
25
+
y2
9
=1上，
∴
(
15
4
)2
25
+
y12
9
=1，解得y1=±
3
7
4
，
∴B（
15
4
，-
3
7
4
）或B（
15
4
，
3
7
4
）．
（2）設直線l的方程為y=k（x-4），不妨取B（
15
4
，
3
7
4
），
把B（
15
4
，
3
7
4
）代入直線y=k（x-4），得k=-3
7
，
∴直線l的方程為y=-3
7
（x-4），
聯立
y=-3
7
(x-4)
x2
25
+
y2
9
=1
，得176x2-1400x+2775=0，
解得A（
185
44
，-
27
7
44
），B（
15
4
，
3
7
4
），
∴AB=
(
185
44
-
15
4
)2+(-
27
7
44
-
3
7
4
)2
=
40
11
，
AB的中點N（
175
44
，
3
7
44
），kl′=
1
3
7
，
∴直線l′的方程為y-
3
7
44
=
1
3
7
(x-
175
44
)，
令y=0，得M（
28
11
，0），
∴MF=|4-
28
11
|=
16
11
，
∴
AB
FM
=
40
11
16
11
=
5
2
，
故
AB
FM
為定值
5
2
．
點評：本題考查點的坐標的求法，考查兩線段的比值為定值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，a、b、c是三個內角A、B、C對應的三邊，已知b2+c2=a2+bc．
（1）求角A的大小；
（2）若sinB sinC=
3
4
，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

為了調查教師對黨的群眾路線學習情況，教委擬采用分層抽樣的方法從甲乙丙三所不同的中學抽取90名教師進行調查．已知甲乙丙校中分別有180，270，90名教師，則從C學校中應抽取的人數為（　　）
A、10B、60C、15D、24

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=（2x-x2）ex，則（　　）
A、f(
2
)是f（x）的極大值也是最大值
B、f(
2
)是f（x）的極大值但不是最大值
C、f(-
2
)是f（x）的極小值也是最小值
D、f（x）沒有最大值也沒有最小值

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列說法錯誤的是（　　）
A、已知命題p為“?x∈[0，+∞），（log32）x≤1”，則￢p是真命題
B、若p∨q為假命題，則p、q均為假命題
C、x＞2是x＞1充分不必要條件
D、“全等三角形的面積相等”的否命題是假命題

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x3-2ex2+mx-lnx，記g（x）=
f(x)
x
，若函數g（x）至少存在一個零點，則實數m的取值范圍是（　　）
A、（-∞，e2+
1
e
]
B、（0，e2+
1
e
]
C、（e2+
1
e
，+∞]
D、（-e2-
1
e
，e2+
1
e
]

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科目：高中數學 來源： 題型：

正方體ABCD-A1B1C1D1為棱長為1，動點P，Q分別在棱BC，CC1上，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，設BP=x，CQ=y，其中x，y∈[0，1]，下列命題正確的是
 
．（寫出所有正確命題的編號）
①當x=0時，S為矩形，其面積最大為1；
②當x=y=
1
2
時，S為等腰梯形；
③當x=
1
2
，y∈（
1
2
，1）時，設S與棱C1D1的交點為R，則RD1=2-
1
y
；
④當y=1時，以B1為頂點，S為底面的棱錐的體積為定值
1
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

用三段論證明：在梯形ABCD中，如果AD∥BC，AB=CD，則∠B=∠C．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數y=tan|x|的單調區間為
 
．

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同步練習冊答案
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