Question

（2012•杭州二模）設函數f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2．
（Ⅰ）設函數F(x)=f(x)-

1

4

g(x)，求F（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）設函數G(x)=

(x-1)f(x)

g(x)

，當x∈（1，t]時，都有tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）成立，求實數t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數F(x)=f(x)-

1

4

g(x)=lnx-

1

8

x2，定義域為（0，+∞），求導函數F′（x）=

4-x2

4x

，令F′（x）＞0，可得F（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）設函數G(x)=

(x-1)f(x)

g(x)

，則tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）等價于

G(x)

x-1

≤

G(t)

t-1

，即

f(x)

g(x)

≤

f(t)

g(t)

，設h(x)=

f(x)

g(x)

，則問題等價于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，h（t）為h（x）的最大值，由此可確定實數t的最大值．

解答：解：（Ⅰ）函數F(x)=f(x)-

1

4

g(x)=lnx-

1

8

x2，定義域為（0，+∞）
求導函數F′（x）=

4-x2

4x

，令F′（x）＞0，結合x＞0，可得0＜x＜2
∴F（x）的單調遞增區間為（0，2）；
（Ⅱ）設函數G(x)=

(x-1)f(x)

g(x)

，則tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）等價于

G(x)

x-1

≤

G(t)

t-1

∴

f(x)

g(x)

≤

f(t)

g(t)

設h(x)=

f(x)

g(x)

，則問題等價于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，h（t）為h（x）的最大值
而h(x)=

f(x)

g(x)

=

2lnx

x2

，
∴h′(x)=

2(1-2lnx)

x3

(x＞0)
∴h（x）在區間（

e

，+∞）上單調遞減，在區間（1，

e

）上單調遞增
∴t≤

e

∴實數t的最大值為

e

．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，考查恒成立問題，屬于中檔題．