Question

某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品，規定試銷時銷售單價不低于成本單價又不高于800元/件，經試銷調查，發現銷售量y（件）與銷售單價x（元/件），可近似看做一次函數y=kx+b的關系（如圖所示）．
（Ⅰ）根據圖象，求一次函數y=kx+b的表達式；
（Ⅱ）設公司獲得的利潤（利潤=銷售總價-成本總價）為S元，寫出S關于x的函數表達式，并求該公司可獲得的最大利潤．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖象知，當x=600時，y=400； 當x=700時，y=300，代入y=kx+b中，求得k和b的值，可得一次函數的解析式．
（Ⅱ）依題意得，S=xy-500y=-（x-750）²+62500（500≤x≤800），再利用二次函數的性質求得它的最大值

解答：解：（Ⅰ）由圖象知，當x=600時，y=400； 當x=700時，y=300，
代入y=kx+b中，可得

400=600k+b 300=700k+b

，
解得

k=-1 b=1000

，
∴一次函數y=kx+b的表達式為 y=-x+1000（500≤x≤800）．
（Ⅱ）依題意得，S=xy-500y=x（-x+1000）-500（-x+1000）=-x²+1500x-500000
=-（x-750）²+62500（500≤x≤800）．
∴當x=750時，y_max=62500，即該公司可獲得的最大利潤是62500元．

點評：本題主要考查用待定系數法求函數的解析式，求二次函數在閉區間上的最值，屬于中檔題．