Question

（本小題滿分14分）

已知函數，如果存在給定的實數對（），使得恒成立，則稱為“S-函數”.

（Ⅰ）判斷函數是否是“S-函數”；

（Ⅱ）若是一個“S-函數”，求出所有滿足條件的有序實數對；

（Ⅲ）若定義域為的函數是“S-函數”，且存在滿足條件的有序實數對和，當時，的值域為，求當時函數的值域.

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）若是“S-函數”，則存在常數，使得 (a+x)(a-x)=b.

即x²=a²-b時，對xÎR恒成立.而x²=a²-b最多有兩個解，矛盾，

因此不是“S-函數”.……………………2分

若是“S-函數”，則存在常數a,b使得，

即存在常數對（a, 3^2a）滿足.

因此是“S-函數”……………4分

（Ⅱ）是一個“S-函數”，設有序實數對（a, b）滿足:

則tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.

當a=時，tan(a-x)tan(a+x)= -cot²(x)，不是常數…5分

因此，,

則有.

即恒成立.     ……7分

即,

當,時，tan(a-x)tan(a+x)=cot²(a)=1.

因此滿足是一個“S-函數”的常數（a, b）=.…9分

(Ⅲ) 函數是“S-函數”，且存在滿足條件的有序實數對和，

于是

即,

 ，.……………………10分

 ……11分

 

因此,  ……………………………………13分

綜上可知當時函數的值域為.……………14分

【解析】略