Question

9．圓O的直徑為BC，點A是圓周上異于B，C的一點，且|AB|•|AC|=1，若點P是圓O所在平面內的一點，且$\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，則$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值為76．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0計算$\overrightarrow{AP}$²，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$，從而計算出$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$．利用基本不等式得出最大值．

解答 解：由題意可知AB⊥AC，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0，
∵$\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，∴${\overrightarrow{AP}}^{2}$=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}$+$\frac{81{\overrightarrow{AC}}^{2}}{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}$=82，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）$•\overrightarrow{AB}$=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{|\overrightarrow{AB}|}$=|AB|，
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）$•\overrightarrow{AC}$=9|AC|，
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}$）=${\overrightarrow{AP}}^{2}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AP}$=82-（|AB|+9|AC|），
∵|AB|+9|AC|≥2$\sqrt{9|AB||AC|}$=6，
∴82-（|AB|+9|AC|）≤82-6=76．
故答案為：76．

點評 本題考查了向量數量積運算性質、向量三角形法則、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．