Question

已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．

（1）求證：為關于的方程的兩根；

（2）設，求函數的表達式；

（3）在（2）的條件下，若在區間內總存在個實數（可以相同），使得不等，則m的最大值，為正整數

Answer 1

，的最大值為. 

解析:

解： （1）由題意可知：

∵   ，    

 ∴切線的方程為：，

又切線過點， 有，

即，  ①  　

同理，由切線也過點，得．②

由①、②，可得是方程（ * ）的兩根

（2）由（ * ）知.

，

∴ ．

（3）易知在區間上為增函數，

，               

則．

即，即，

所以，由于為正整數，所以.

又當時，存在，滿足條件，

所以的最大值為.