Question

如圖，線段AB過y軸負半軸上一點M（0，a），A、B兩點到y軸距離的差為2k．
（Ⅰ）若AB所在的直線的斜率為k（k≠0），求以y軸為對稱軸，且過A、O、B三點的拋物線的方程；
（Ⅱ）設（1）中所確定的拋物線為C，點M是C的焦點，若直線AB的傾斜角為60°，又點P在拋物線C上由A到B運動，試求△PAB面積的最大值．

Answer 1

（1）依題意設所求的拋物線方程為x²=-2py（p＞0），----------（1分）
∵直線AB的斜率為k且過點M（0，a）∴直線AB的方程為y=kx+a
由

y=kx+a x2=-2py

得x²+2pkx+2pa=0----------①------------------（3分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜0，x₂＞0，y₁＜0，y₂＜0）
則x₁，x₂是方程①的兩個實根
∴x₁+x₂=-2pk，若|x₁|-|x₂|=2k
則-x₁-x₂=2k，-2pk=-2k∴p=1---------------------------（5分）
若|x₂|-|x₁|=2k則x₁+x₂=-2pk=2k∴p=-1與p＞0矛盾----（6分）
∴該拋物線的方程為x²=-2y．-------（7分）
（2）解法1：拋物線x²=-2y的焦點為（0，-

1

2

）即M點坐標為（0，-

1

2

）
直線AB的斜率k=tan60°=

3

∴直線AB的方程為y=

3

x-

1

2

，-----------------（8分）
解方程組

x2=-2y y= 3 x- 1 2

得

x1=- 3 -2 y1=- 7+4 3 2

x2=- 3 +2 y2=- 7-4 3 2

即點A(-

3

-2，-

7+4 3

2

)，B(-

3

+2，-

7-4 3

2

)-------------------（10分）
∴|AB|=

42+(4 3 )2

=8
設點P（m，n），依題意知-

3

-2≤m≤-

3

+2，且n=-

1

2

m2
則點P到直線AB的距離d=

| 3 m-n- 1 2 |

2

=

| 1 2 m2+ 3 m- 1 2 |

2

=

|-(m+ 3 )2+4|

4

當m=-

3

時，d_max=1，--------------------------------（13分）
這時Smax=

1

2

|AB|dmax=

1

2

×8×1=4．-----------------------（15分）
解法2：拋物線x²=-2y的焦點為（0，-

1

2

）即M點坐標為（0，-

1

2

）
直線AB的斜率k=tan60°=

3

∴直線AB的方程為y=

3

x-

1

2

，
由

x2=-2y y= 3 x- 1 2

得x2+2

3

x-1=0∴x1+x2=-2

3

，x₁x₂=-1，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

12+4

=8[以下同上]