Question

如圖，線段AB過(guò)y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)M（0，a），A、B兩點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的差為2k．
（Ⅰ）若AB所在的直線的斜率為k（k≠0），求以y軸為對(duì)稱軸，且過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)（1）中所確定的拋物線為C，點(diǎn)M是C的焦點(diǎn)，若直線AB的傾斜角為60°，又點(diǎn)P在拋物線C上由A到B運(yùn)動(dòng)，試求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意設(shè)所求的拋物線方程為x²=-2py（p＞0），直線AB的方程為y=kx+a，由得x²+2pkx+2pa=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜0，x₂＞0，y₁＜0，y₂＜0），x₁+x₂=-2pk，若|x₁|-|x₂|=2k可求p
（2）解法1：可得直線AB的方程為，解方程組可求點(diǎn)A，B，從而可求AB，設(shè)點(diǎn)P（m，n），依題意知，且，根據(jù)點(diǎn)P到直線AB的距離=可求面積的最大值
解法2：直線AB的方程為，由得，，x₁x₂=-1，
以下同法一
解答：（1）解：依題意設(shè)所求的拋物線方程為x²=-2py（p＞0），----------（1分）
∵直線AB的斜率為k且過(guò)點(diǎn)M（0，a）∴直線AB的方程為y=kx+a
由得x²+2pkx+2pa=0----------①------------------（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜0，x₂＞0，y₁＜0，y₂＜0）
則x₁，x₂是方程①的兩個(gè)實(shí)根
∴x₁+x₂=-2pk，若|x₁|-|x₂|=2k
則-x₁-x₂=2k，-2pk=-2k∴p=1---------------------------（5分）
若|x₂|-|x₁|=2k則x₁+x₂=-2pk=2k∴p=-1與p＞0矛盾----（6分）
∴該拋物線的方程為x²=-2y．-------（7分）
（2）解法1：拋物線x²=-2y的焦點(diǎn)為（）即M點(diǎn)坐標(biāo)為（）
直線AB的斜率
∴直線AB的方程為，-----------------（8分）
解方程組得
即點(diǎn)A，B-------------------（10分）
∴
設(shè)點(diǎn)P（m，n），依題意知，且
則點(diǎn)P到直線AB的距離==
當(dāng)時(shí)，d_max=1，--------------------------------（13分）
這時(shí)=．-----------------------（15分）
解法2：拋物線x²=-2y的焦點(diǎn)為（）即M點(diǎn)坐標(biāo)為（）
直線AB的斜率
∴直線AB的方程為，
由得∴，x₁x₂=-1，
∴=[以下同上]
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用拋物線的性質(zhì)求解拋物線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最值等知識(shí)的綜合應(yīng)用，要注意方程的思想的應(yīng)用．