Question

已知函數f（x）=x³-4ax²+5x（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數在區間[0，2]上的最大值；
（2）若函數f（x）在區間（0，2]上無極值，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：1）把a=1代入f（x），求導數f′（x），令f′（x）=0，求得極值點，再和端點值比較，求出最大值，
（2）對函數求導，由導函數為二次函數，可知若函數f（x）在區間（0，2]上無極值，則f（0）f（2）＞0即可得到實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，函數f（x）=x³-4x²+5x，
f′（x）=3x²-8x+5，令f′（x）=0，解得x=

5

3

，或x=1，此為極值點，
則函數f（x）在[0，2]上的最大值為{f（0），f（

5

3

），f（1），f（2）}={0，-

400

27

，2}中最大的值2．
（2）函數f（x）=x³-4ax²+5x，
則f′（x）=3x²-8ax+5，為二次函數，
若函數f（x）在區間（0，2]上無極值，即f′（x）=0在（0，2]無根，
則f（0）f（2）＞0，即17-16a＞0，解得a＜

17

16

．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性以及最值，注意轉化求解．