Question

在三人兵乓球對抗賽中，甲、乙、丙三名選手進行單循環賽（即每兩人比賽一場），共賽三場，每場比賽勝者得1分，輸者得0分，沒有平局；在每一場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為．
（1）求甲獲得小組第一且丙獲得小組第二的概率；
（2）求三人得分相同的概率；
（3）求甲不是小組第一的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）甲獲得小組第一且丙獲得小組第二，即甲勝乙，甲勝丙，丙勝乙，由已知中在每一場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，我們利用相互獨立事件的概率乘法公式，即可得到答案．
（2）三人得分相同，即每人勝一場輸兩場，有以下兩種情形：①甲勝乙，乙勝丙，丙勝甲；②甲勝丙，丙勝乙，乙勝甲，代入相互獨立事件的概率乘法公式，結合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．
（3）甲不是小組第一與甲是小組第一為對立事件，根據（1）中的結論，我們利用對立事件概率減法公式，即可得到答案．
解答：解：（1）甲獲小組第一且丙獲小組第二為事件A
則事件A成立時，甲勝乙，甲勝丙，丙勝乙
由在每一場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為
則P（A）==
（2）設三場比賽結束后，三人得分相同為事件B
則每人勝一場輸兩場，有以下兩種情形：
甲勝乙，乙勝丙，丙勝甲概率P==；
甲勝丙，丙勝乙，乙勝甲概率P==
故三人得分相同的概率為P（B）=+=
（3）設甲不是小組第一的事件C，甲是小組第一的事件D
則C，D為對立事件，
∵D成立事，甲勝乙，甲勝丙
故P（D）==；
P（C）=1-P（D）=1-=
點評：本小題主要考查相互獨立事件概率的計算，運用數學知識解決問題的能力，要想計算一個事件的概率，首先我們要分析這個事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進行求解．