Question

7．如圖，在空間幾何體A-BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是邊長為2的等邊三角形，F為AC的中點．AC=4
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求幾何體C-BDF的體積．

Answer 1

分析 （1）取DE的中點H，連AH，CH，推導出AH⊥DE，AH⊥HC，由此能證明平面ADE⊥BCDE．
（2）幾何體C-BDF的體積${V_{C-BDF}}={V_{F-BDC}}=\frac{1}{2}{V_{A-BDC}}$，由此能求出結果．

解答 證明：（1）取DE的中點H，連AH，CH，
∵△ADE為等邊三角形，∴AH⊥DE，且$AH=\sqrt{3}$，
在△DHC中，DH=1，DC=4，HDC=60°，
∴$HC=\sqrt{13}$，∴AC²=AH²+HC²，即AH⊥HC，
∵DE∩HC=H，∴AH⊥平面BCDE，∵AH?平面ADE，
∴平面ADE⊥BCDE…（6分）
$（2）{V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AH$=$\frac{1}{3}×\frac{{4\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{3}$=2，
∵F是AC中點，
∴幾何體C-BDF的體積${V_{C-BDF}}={V_{F-BDC}}=\frac{1}{2}{V_{A-BDC}}=1$…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．