Question

（14分）已知函數f(x)是 （xR）的反函數，函數g(x)的圖象與函數的圖象關于直線x=－2成軸對稱圖形，設F(x)=f(x)+g(x).
（1）求函數F(x)的解析式及定義域；
（2）試問在函數F(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A,B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A,B坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)F(x)定義域為(－1,1) 
(2)設F(x)上不同的兩點A(x₁，y₂)，B(x₁ y₂),－1<x₁<x₂<1
則y₁-y₂ =F(x₁)－F(x₂)= =.
由－1< x1< x2<1   得
所以 y1> y2，
即F(x)是(-1,1)上的單調減函數， 故不存在A,B兩點，使AB與y軸垂直.

略