Question

（本題滿分12分）平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足    ，其中，且.   （1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡與雙曲線交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：為定值；（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

解.（1）設(shè)，因?yàn)?img width=123 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/122/291922.gif">，則

      所以即點(diǎn)的軌跡方程為 ---    3分

（2）   明：由

   設(shè)，則

   因?yàn)橐?img width=31 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/129/291929.gif">為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以

化簡(jiǎn)得----8分

（3）   因?yàn)?img width=83 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/145/291945.gif">，所以   因?yàn)?img width=257 height=44 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/147/291947.gif">

   所以雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍是（0，1——12分