Question

（2009•泰安一模）如圖，點F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，A、B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為

1

2

．點C在x軸上，BC⊥BF，且B、C、F三點確定的圓M恰好與直線x+

3

y+3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，在x軸上是否存在定點N，使得NF恰好為△PNQ的內角平分線，若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）從

c

a

=

1

2

著手分析a、b、c之間的關系，再結合條件BC⊥BF，且B、C、F三點確定的圓M恰好與直線x+

3

y+3=0相切，可求得a，從而可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）假設在x軸上是否存在定點N，使得NF恰好為△PNQ的內角平分線，利用角平分線的性質定理得：

|PF|

|FQ|

=

|PN|

|NQ|

，再結合橢圓的定義進行轉化即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

c

a

=

1

2

，
∴c=

1

2

a，b=

a2-c2

=

3

2

a，
又F（-c，0），B（0，b），在直角三角形BFO中，tan∠BFO=

|OB|

|OF|

=

b

c

=

3

，
∴∠BFO=

π

3

．|BF|=a．
∵BC⊥BF，
∴∠BCF=

π

6

，
∴|CF|=2a．
∴B、C、F三點確定的圓M的圓心M的坐標為：（

a

2

，0），半徑r=a；
又圓M與直線x+

3

y+3=0相切，
∴圓心M到直線x+

3

y+3=0的距離等于r，即

| a 2 +0+3|

2

=a，又a＞0，
∴a=2，
∴b=

3

．
∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）假設在x軸上存在定點N，使得NF恰好為△PNQ的內角平分線，
則由角平分線的性質定理得：

|PF|

|FQ|

=

|PN|

|NQ|

，又|PF|+|PN|=2a=4，|QF|+|QN|=2a=4，
∴

|PF|

|FQ|

=

4-|PF|

4-|FQ|

，
∴|PF|=|QF|，即F為PQ的中點，
∴PQ⊥x軸，這與已知“過F作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點”矛盾，
∴假設不成立，即在x軸上不存在定點N，使得NF恰好為△PNQ的內角平分線．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，求橢圓的方程，關鍵在于根據題意從角入手分析出a、b、c之間的關系，難點在于（Ⅱ）中橢圓定義的靈活應用，屬于難題．