Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx的圖象過點（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N^*．
（1）若數列{a_n} 滿足，且a₁=4，求數列{a_n} 的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足：b₁=1，，當n≥3，n∈N^*時，求證：①；②．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數，根據二次函數f（x）=ax²+bx的圖象過點（-4n，0），且f′（0）=2n，可得b=2n，16n²a-4nb=0，從而可得函數的解析式，利用數列{a_n} 滿足，f′（x）=x+2n，結合疊加法，即可求得結論；
（2）先證明，，從而有，可得b_2n+1＜b_2n-1；又，，從而結論成立；②由得，相減得，再疊加，利用放縮法，即可證得結論．
解答：（1）解：求導函數可得f′（x）=2ax+b，由題意知b=2n，16n²a-4nb=0
∴a=，b=2n，則f（x）=x²+2nx，n∈N^*．             （2分）
∵數列{a_n} 滿足，f′（x）=x+2n，
∵，∴，
∵a₁=4，
∴=
∴   （6分）
（2）證明：①由b₁=1得，由得
即，∴，∴b_2n+1＜b_2n-1
由及b₁=1，可得：，
∵，∴b_2n＜b_2n+1（10分）
②由得
相減得
由①知：b_n≠b_n+1
所以==（14分）
點評：本題考查數列與函數的綜合，考查數列的通項，考查放縮法的運用，確定數列的通項，正確放縮是關鍵．