Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面AA₁C₁C是菱形，∠ACC₁=60°，側面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，A₁B=AB=AC=1．
求證：（1）AA₁⊥BC₁；
（2）求點A₁到平面ABC的距離．

Answer 1

（1）證明：設AA₁中點為D，連BD，CD，C₁D，AC₁．
因為A₁B=AB，，所以BD⊥AA₁．--------------------------2分
因為側面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，所以BD⊥面AA₁C₁C．----------4分
又△ACC₁為正三角形，AC₁=C₁A₁，所以C₁D⊥AA₁．------6分
所以AA₁⊥面BDC₁，
所以AA₁⊥BC₁．----------------------------8分
（2）解：由（1），有BD⊥C₁D，BC₁⊥CC₁，CC₁⊥面C₁DB
設點A₁到平面ABC的距離為h，則=．
因為，CC₁=1
∴=，
∵，
∴
∵AB=AC=1，
∴
∴．
即點A₁到平面ABC的距離為．----14分
分析：（1）要證AA₁⊥BC₁．只需證AA₁⊥面BDC₁，只需證AA₁垂直于面BDC₁內的兩條相交直線，設AA₁中點為D，根據A₁B=AB，，可得BD⊥AA₁，利用側面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，可得BD⊥面AA₁C₁C．根據△ACC₁為正三角形，AC₁=C₁A₁，可得C₁D⊥AA₁，從而得證；
（2）由（1），有BD⊥C₁D，BC₁⊥CC₁，CC₁⊥面C₁DB，設點A₁到平面ABC的距離為h，利用等面積有=，從而可求點A₁到平面ABC的距離．
點評：本題以三棱柱為載體，考查線面垂直的判定與性質，考查點面距離的求法，解題的關鍵是轉換底面，利用體積相等求解．