Question

【題目】在平面直角坐標系中，焦點在軸上的橢圓經過點，其中為橢圓的離心率.過點作斜率為的直線交橢圓于兩點（在軸下方）.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點且平行于的直線交橢圓于點， ，求的值；

（3）記直線與軸的交點為.若，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）將點坐標代入橢圓方程，化簡可得（2）根據投影可得，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡可得定值（3）先求交點坐標，再根據，得，利用（2）韋達定理得等量關系，解出直線的斜率.

試題解析：（1）因為橢圓經過點，所以.

因為，所以.

因為，所以.

整理得，解得或（舍），所以橢圓的方程為.

（2）設， .因為，則直線的方程為.

聯立直線與橢圓方程，

消去，得，所以.

因為，所以直線方程為，

聯立直線與橢圓方程，消去得，解得.

因為，所以.

因為 ，

，

所以 .

（3）在中，令，則，所以，

從而， .

因為，所以，即.

由（2）知， .

由，解得， .

因為，所以，

整理得，解得或（舍）.

又因為，所以.