Question

(本小題滿分14分）已知函數，其中．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數的單調區間與極值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；

（Ⅱ）在區間,內為增函數，在區間內為減函數．

函數在處取得極大值，且．

函數在處取得極小值，且

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。主要是導數的幾何意義的運用以及運用導數求解函數的 單調區間和極值的綜合試題。

（1）先求解定義域和導函數，利用導數值為該點的切線斜率得到直線方程。

（2）利用求解導數，以及導數為零的點，以及導數的正負得到單調區間，并判定極值問題。

解:  （Ⅰ）解：當時，，，………1分

又，則．……… 3分

所以，曲線在點處的切線方程為，

即．……………4分

（Ⅱ）解：

．………6分

由于，以下分兩種情況討論．

（1）當時，令，得到，,

當變化時，的變化情況如下表：

		0		0
		極小值		極大值

所以在區間,內為減函數，在區間內為增函數

故函數在點處取得極小值，且，

函數在點處取得極大值，且．…10分

（2）當時，令，得到，

當變化時，的變化情況如下表：

		0		0
		極大值		極小值

所以在區間,內為增函數，在區間內為減函數．

函數在處取得極大值，且．

函數在處取得極小值，且．………………14