Question

已知，
（1）分別就判斷m與n的大小關系，并由此猜想對于任意的a，b∈R₊，m與n的大小關系及取得等號的條件；
（2）類比第（1）小題的猜想，得出關于任意的a，b，c∈R₊相應的猜想，并證明這個猜想．

Answer 1

解：（1）當時，m=n=1，當時，，…（2分）
故由此可以猜想：
任意的a，b∈R₊，有，當且僅當a=b時取得等號；…（4分）
（2）類比第（1）小題，對于任意的a，b，c∈R₊，
猜想：，當且僅當a=b=c時取得等號．…（5分）
證明如下：
對于a，b，c∈R₊，要證成立，
只需證：…（7分）
即證：
即證：（*） …（9分）
∵對于a，b，c∈R₊，有
同理：，…（11分）
∴不等式（*）成立．
要使（*）的等號成立，必須，
故當a=b=c時等號成立． 　…（12分）
說明：采用其它方法作答的，只是邏輯嚴密，言之有理，可以根據作答情況酌情給分．
分析：（1）當，時，分別代入計算，從而可以猜想：任意的a，b∈R₊，有，當且僅當a=b時取得等號；
（2）類比第（1）小題，對于任意的a，b，c∈R₊，猜想：，當且僅當a=b=c時取得等號利用分析法可以進行證明．
點評：本題以大小比較為載體，考查基本不等式的運用，考查類比思想，解題的關鍵是正確運用基本不等式證明不等式．