Question

已知m=

2

1 a + 1 b

，n=

a+b

2

（1）分別就

a=1 b=1

和

a=1 b=2

判斷m與n的大小關(guān)系，并由此猜想對(duì)于任意的a，b∈R₊，m與n的大小關(guān)系及取得等號(hào)的條件；
（2）類比第（1）小題的猜想，得出關(guān)于任意的a，b，c∈R₊相應(yīng)的猜想，并證明這個(gè)猜想．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)

a=1 b=1

，

a=1 b=2

時(shí)，分別代入計(jì)算，從而可以猜想：任意的a，b∈R₊，有m=

2

1 a + 1 b

≤n=

a+b

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得等號(hào)；
（2）類比第（1）小題，對(duì)于任意的a，b，c∈R₊，猜想：m=

3

1 a + 1 b + 1 c

≤n=

a+b+c

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取得等號(hào)利用分析法可以進(jìn)行證明．

解答：解：（1）當(dāng)

a=1 b=1

時(shí)，m=n=1，當(dāng)

a=1 b=2

時(shí)，m=

4

3

＜n=

3

2

，…（2分）
故由此可以猜想：
任意的a，b∈R₊，有m=

2

1 a + 1 b

≤n=

a+b

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得等號(hào)；…（4分）
（2）類比第（1）小題，對(duì)于任意的a，b，c∈R₊，
猜想：m=

3

1 a + 1 b + 1 c

≤n=

a+b+c

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取得等號(hào)．…（5分）
證明如下：
對(duì)于a，b，c∈R₊，要證

3

1 a + 1 b + 1 c

≤

a+b+c

3

成立，
只需證：9≤(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)…（7分）
即證：9≤3+

a

b

+

a

c

+

b

a

+

b

c

+

c

a

+

c

b

即證：6≤(

a

b

+

b

a

)+(

a

c

+

c

a

)+(

b

c

+

c

b

)（*）     …（9分）
∵對(duì)于a，b，c∈R₊，有

a

b

+

b

a

≥2

a b • b a

=2
同理：

a

c

+

c

a

≥2，

b

c

+

c

b

≥2…（11分）
∴不等式（*）成立．
要使（*）的等號(hào)成立，必須

b

a

=

a

b

且

c

a

=

a

c

且

b

c

=

c

b

，
故當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立．    　…（12分）
說明：采用其它方法作答的，只是邏輯嚴(yán)密，言之有理，可以根據(jù)作答情況酌情給分．

點(diǎn)評(píng)：本題以大小比較為載體，考查基本不等式的運(yùn)用，考查類比思想，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用基本不等式證明不等式．