Question

6、已知f（x）是定義在實數集R上的函數，滿足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²，
（1）求x∈[-2，0]時，f（x）的表達式；
（2）證明f（x）是R上的奇函數．

Answer 1

分析：（1）利用f（x+2）=-f（x），可由x∈[0，2]時的解析式求x∈[-2，0]時的解析式；
（2）首先證明x∈[-2，2]時f（x）是奇函數，然后證明f（x）是以4為周期的周期函數，則問題解決．

解答：解：（1）因為x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²，
所以x∈[-2，0]時，x+2∈[0，2]，
則f（x+2）=2（x+2）-（x+2）²
=-x²-2x，x∈[-2，0]
又f（x+2）=-f（x），
所以f（x）=x²+2x，x∈[-2，0]．
（2）證明：由（1）知f（x）=x²+2x，x∈[-2，0]，
則f（-x）=x²-2x，x∈[-2，0]，
且f（x）=2x-x²，x∈[0，2]，
所以f（-x）=-f（x），x∈[-2，2]，
即f（x）在[-2，2]上是奇函數．
又f（x+2）=-f（x），x∈R，則f（x）=-f（x-2），x∈R，
所以f（x+2）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），
亦即f（x）是以4為周期的函數，
故f（x）是R上的奇函數．

點評：本題綜合考查函數奇偶性與周期性知識的運用．