Question

已知AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=CA，P為A₁B上的點．
（1）當為何值時，AB⊥PC；
（2）當二面角P-AC-B的大小為時，求的值．

Answer 1

解：（1）當=1時．作PD∥A₁A交AB于D，連CD．由A₁A⊥面ABC，知PD⊥面ABC．
當P為A₁B中點時，D為AB中點．
∵△ABC為正三角形，∴CD⊥AB．∴PC⊥AB（三垂線定理）．

（2）過D作DE⊥AC于E，連接PE，則PE⊥AC，
∴∠DEP為二面角P-AC-B的平面角，∠DEP=．
∴tan∠PED==．
∴PD=DE．
∵DE=AD•sin60°=AD，
∴PD=DE=×AD=AD．
又∵PD∥A₁A，
∴PD=BD．
∴==．
分析：（1）當=1，作PD∥A₁A交AB于D，連CD．由A₁A⊥面ABC，知PD⊥面ABC，當P為A₁B中點時，D為AB中點，而△ABC為正三角形，則CD⊥AB，根據三垂線定理可得PC⊥AB．
（2）過D作DE⊥AC于E，連接PE，則PE⊥AC，根據二面角平面角的定義可知∠DEP為二面角P-AC-B的平面角，在三角形PED中求出PD與DE的關系，根據DE=AD•sin60°=AD，得到PD與AD的關系，而PD∥A₁A，則PD=BD，從而求出的值．
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質，以及三垂線定理和與二面角有關的立體幾何綜合題，同時考查了學生計算能力、分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．