Question

已知AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=CA，P為A₁B上的點.

（1）當為何值時,AB⊥PC；

（2）當二面角P-AC-B的大小為時,求的值.

Answer 1

解：（1）當=1時.

作PD∥A₁A交AB于D，連CD.由A₁A⊥面ABC，知PD⊥面ABC.當P為A₁B中點時，D為AB中點.∵△ABC為正三角形，∴CD⊥AB.∴PC⊥AB（三垂線定理）.

（2）過D作DE⊥AC于E，連結PE，則PE⊥AC，

∴∠DEP為二面角P—AC—B的平面角，∠DEP=.

∴tan∠PED==.

∴PD=DE.∵DE=AD·sin60°=AD,∴PD=DE=×AD=AD.

又∵PD∥A₁A,∴PD=BD.∴.