Question

設M=2^t+i_t-1×2^t-1+…+i₁×2+i₀，其中i_k=0或1（k=0，1，2，…，t-1，t∈N⁺），并記M=（1i_t-1i_t-2…i₁i₀）₂．對于給定的
x₁=（1i_t-1i_t-2…i₁i₀）₂，構造無窮數列{x_n}如下：x₂=（1i₀i_t-1i_t-2…i₂i₁）₂，x₃=（1i₁i₀i_t-1…i₃i₂），x₄=（1i₂i₁i₀i_t-1…i₃）₂…，
（1）若x₁=109，則x₃=________ （用數字作答）；
（2）給定一個正整數m，若x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1，則滿足x_n=x₁（n∈N⁺且n≠1）的n的最小值為________．

Answer 1

解：（1）∵x₁=109=2⁶+2⁵+2³+2²+1
∴x₁=（1101101）₂而x₃=（1i₁i₀i_t-1…i₃i₂）₂=（1011011）₂，
∴x₃=2⁶+2⁴+2³+2¹+1=91
（2）∵x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1
∴x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i₀）₂而x₂=（1i₀i_2m+1i_2m…i₁）₂，x₃=（1i₁i₀i_2m+1i_2m…i₂）₂，
當i₀跑到最后時移動了2m+2次，此時x_2m+3=x₁，
滿足x_n=x₁（n∈N⁺且n≠1）的n的最小值為2m+3
故答案為：91、2m+3
分析：（1）先將x₁=109分成2⁶+2⁵+2³+2²+1從而得到1i_t-1i_t-2…i₁i₀的值，然后根據x₃=（1i₁i₀i_t-1…i₃i₂）₂進行求解即可；
（2）根據x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1則x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i₀）₂，從而x₂=（1i₀i_2m+1i_2m…i₁）₂，x₃=（1i₁i₀i_2m+1i_2m…i₂）₂，依此類推x_2m+3=x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i₀）₂，從而得到結論．
點評：本題主要考查了數列的應用，解題的關鍵是弄清題意，根據新的定義求解，屬于中檔題．