Question

已知函數f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求證函數f（x）在區間[0，1]上存在唯一的極值點；
（3）當x≥

1

2

時，若關于x的不等式f(x)≥

5

2

x2+(a-3)x+1恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數f（x）在x=1處的導數得到切線的斜率，然后求出切點坐標，利用點斜式方程表示出切線方程即可；
（2）先求f′（0）與f′（1），看兩值是否異號，然后證明f′（x）在[0，1]上單調性，即可證明函數f（x）在區間[0，1]上存在唯一的極值點；
（3）將參數a分離出來，得到a≤

ex- 1 2 x2-1

x

在[

1

2

，+∞）上恒成立，然后利用導數研究不等式右邊的函數在[

1

2

，+∞）上的最小值即可．

解答：解：（1）f′（x）=e^x+4x-3，則f'（1）=e+1，
又f（1）=e-1，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-e+1=（e+1）（x-1），
即（e+1）x-y-2=0；
（2）∵f′（0）=e⁰-3=-2＜0，f′（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0，
令h（x）=f′（x）=e^x+4x-3，則h′（x）=e^x+4＞0，
∴f′（x）在[0，1]上單調遞增，∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零點，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的極值點；
（3）由f(x)≥

5

2

x2+(a-3)x+1，
得ex+2x2-3x≥

5

2

x2+(a-3)x+1，
即ax≤ex-

1

2

x2-1，
∵x≥

1

2

，∴a≤

ex- 1 2 x2-1

x

，
令g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

，則g′(x)=

ex(x-1)- 1 2 x2+1

x2

，
令?(x)=ex(x-1)-

1

2

x2+1，則?'（x）=x（e^x-1）
∵x≥

1

2

，∴?'（x）＞0，∴?（x）在[

1

2

，+∞)上單調遞增，
∴?(x)≥?(

1

2

)=

7

8

-

1

2

e

＞0，
因此g'（x）＞0，故g（x）在[

1

2

，+∞)上單調遞增，
則g(x)≥g(

1

2

)=

e 1 2 - 1 8 -1

1 2

=2

e

-

9

4

．
∴實數a的取值范圍a≤2

e

-

9

4

．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題等基礎題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，化歸與轉化思想，屬于基礎題．