Question

已知點(diǎn)A（cosα，sinα），點(diǎn)B（cos（α+），sin（α+）），點(diǎn)C（1，0）．
（Ⅰ）若|CA|=，求α的值；
（Ⅱ）若α∈（），求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由|CA|=，可得 （cosα-1）²+sin²α=3，化簡(jiǎn)可得cosα=-，由此求得 α 的值．
（Ⅱ）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式以及三角恒等變換化簡(jiǎn) 的解析式為 +sin（α-），由α∈（），可得 α-∈[-，]，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）若|CA|=，則有 （cosα-1）²+sin²α=3，化簡(jiǎn)可得cosα=-，∴α=2kπ+，或α=2kπ+，k∈z．
（Ⅱ）∵=（cosα-1，sinα）•（cos（α+）-1，sin（α+））=（cosα-1）[cos（α+）-1]+sinα•sin（α+）
=（cosα-1）（cosα-sinα-1）+sinα（sinα+cosα）=cos²α-sinαcosα-cosα-++1+sin²α+
=-cosα+=+（sinα-cosα）=+sin（α-），
而由α∈（），可得 α-∈[-，]，∴-≤sin（α-）≤，∴-≤sin（α-）≤，
故 ≤≤，即的取值范圍是[，]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．