Question

已知函數(shù)滿足f（-1）=0，且對(duì)任意x＞0都有．
（1）求f（1）的值；
（2）求a，b，c的值；
（3）若在（0，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由，令x=1，得1≤f（x）≤1，∴f（1）=1．
（2）由f（-1）=0，f（1）=1，得．
當(dāng)x≥0時(shí)，
①②
由①式a≤0顯然不成立，∴a＞0，∵Q（x）=2ax²-x+（1-2a）的圖象的對(duì)稱軸為，
∴△=1-8a（1-2a）≤0，即（4a-1）²≤0，∴，
從而，而此時(shí)②式為（x-1）²≥0，∴．
（3），設(shè)0＜x₁＜x₂≤2，則，∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴x₁x₂-（1-m）＜0，即1-m＞x₁x₂恒成立，而0＜x₁x₂＜4，∴1-m≥4，
∴m≤-3．
分析：（1）對(duì)賦值x=1，則可求；
（2）由f（-1）=0，f（1）=1，建立方程組，再借助于對(duì)任意x＞0都有，從而問題得解；
（3）利用單調(diào)性的定義，設(shè)0＜x₁＜x₂≤2可有，從而1-m＞x₁x₂恒成立，而0＜x₁x₂＜4，所以1-m≥4，故可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的求解，考查恒成立的處理，采用了賦值法，屬于中檔題．