Question

已知點列M₁（x₁，1），M₂（x₂，2），…，M_n（x_n，n），且與向量垂直，其中c是不等于零的實常數，n是正整數．設x₁=1，求數列{x_n}的通項公式，并求其前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：利用與向量垂直，可得，從而可得，利用疊加法，確定數列的通項，分類討論，利用等差數列、等比數列的求和公式，即可得到結論．
解答：解：由題意得：…（2分）
∵與向量垂直，
∴
∴
∵c≠0
∴  …（4分）
∴x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=c^n-1+c^n-2+…+c+1…（6分）
當c=1時，x_n=n，此時，S_n=1+2+…+n=  …（8分）
當c≠1時，x_n=c^n-1+c^n-2+…+c+1=      …（10分）
此時，S_n==
=…（12分）
點評：本題考查數列與向量的綜合，考查疊加法，考查數列的求和公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．