Question

已知點列M₁(x₁,1),M₂(x₂,2),…,M_n(x_n,n),…,且與向量a_n=(-c,cⁿ⁺¹)垂直,其中c是不等于零的實常數,n是正整數,設x₁=1,求數列{x_n}的通項公式,并求其前n項和S_n.

Answer 1

解:由題意得=(x_n+1-x_n,1),

∵與向量a_n=(-c,cⁿ⁺¹)(c≠0)垂直,

∴·a_n=0,即-c(x_n+1-x_n)+cⁿ⁺¹=0.

∵c≠0,∴x_n+1-x_n=cⁿ.

∴x_n=(x_n-x_n-1)+(x_n-1-x_n-2)+…+(x₂-x₁)+x₁=c^n-1+c^n-2+…+c+1.

當c=1時,x_n=n,此時S_n=1+2+3+…+n=;

當c≠1時,x_n=c^n-1+c^n-2+…+c+1=,

此時S_n=x₁+x₂+…+x_n=++…+

=-(c+c²+…+cⁿ)

=-·=-.