Question

（本小題滿分12分）已知橢圓經過點，一個焦點是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓與軸的兩個交點為、，點在直線上，直線、分別與橢圓交于、兩點．試問：當點在直線上運動時，直線是否恒經過定點？證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

（本小題滿分12分）

解：（I）方法1：橢圓的一個焦點是 ，

∴，             ………………（2分）

∵，∴，∴橢圓方程為       ………………（4分）

方法2：，可設橢圓方程為         ………………（2分）

∵在橢圓上，所以（舍去）

∴橢圓方程為                          ………………（4分）

（II）

方法1：當點在軸上時，、分別與、重合，

若直線通過定點，則必在軸上，設，………………（6分）

當點不在軸上時，設，、，，

直線方程，方程，

代入得，

解得，，

∴，              ……………（8分）

代入得

解得，，

∴，               ………………（10分）

∵，

∴，

∴，，

∴當點在直線上運動時，直線恒經過定點．……………（12分）

方法2：直線恒經過定點，證明如下：

當斜率不存在時，直線即軸，通過點，……………（6分）

當點不在軸上時，設，、，，

直線方程，方程，

代入得，

得，，∴，……………（8分）

代入得

得，， …………（10分）

∴，直線恒經過定點．        ………………（12分）

方法3：∵、、三點共線， 、、三點也共線，

∴是直線與直線的交點，

當斜率存在時，設：，代入，

得，，，

直線方程，直線方程，

分別代入，得，，

∴，即，

，

∴對任意變化的都成立，只能，

∴直線，通過點

當斜率不存在時，直線即軸，通過點，……………（10分）

∴當點在直線上運動時，直線恒經過定點．

【解析】略