Question

（2012•浙江模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，短軸長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓上的動點，點M，N在y軸上，圓（x+1）²+y²=1內切于△PMN，求△PMN面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，短軸長為4，建立方程，求得幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）設P（x₀，y₀），直線PM、PN的方程，利用圓心（1，0）到直線PM、PN的距離為1，建立方程，利用韋達定理，確定直線斜率之間的關系，進而表示三角形的面積，即可求△PMN面積的最小值．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，短軸長為4
∴b=2，

c

a

=

1

2

∴

a2-4

a2

=

1

4

∴a2=

16

3

∴橢圓C的方程為

x2

16 3

+

y2

4

=1；
（2）設P（x₀，y₀），直線PM：y-y₀=k₁（x-x₀）
∵圓心（1，0）到直線PM的距離為1
∴

|k1+y0-k1x0|

1+k12

=1
∴（x02-2x0）k12+2y₀（1-x₀）k₁+y02-1=0
同理（x02-2x0）k22+2y₀（1-x₀）k₂+y02-1=0
∴k₁+k₂=-

2y0(1-x0)

x02-2x0

，k1k2=

y02-1

x02-2x0

∴(k1-k2)2=

4x02+4y02-8x0

(x02-2x0)2

∵P（x₀，y₀）是橢圓上的點，∴4y02=16-3x02，∴2＜x0≤

4 3

3

∵y_M=y₀-k₁x₀，y_N=y₀-k₂x₀
∴S_△PMN=

1

2

|yM-yN|x0=

1

2

×

4-x0

x0-2

×x0=

2

x0-2

-

x0-2

2

∴S隨x₀的增大而減小，
∴x0=

4 3

3

時，S_△PMN有最小值為

12+4 3

3

．

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．