Question

已知函數f(x)=

a(x-1)2+1

bx+c-b

（a，b，c∈N）的圖象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的圖象關于原點對稱，且f（2）=2，f（3）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）設0＜|x|＜1，0＜|t|≤1．求證：|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（3）定義函數G（x）=f（x）-x+2．當n為正整數時，求證：G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞

2n+1

2

．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）的圖象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的圖象所對應的函數式為g(x)=f(x+1)=

ax2+1

bx+c

，因為圖象關于原點對稱，g（-x）=-g（x），即

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

．由此結合題設條件能導出a=1，b=1．
（2）由f（tx+1）=tx+

1

tx

，知|f（tx+1）|=|tx+

1

tx

|=|tx|+|

1

tx

|≥2

|tx|•| 1 tx |

=2，再由0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，知|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2．由此能夠證明|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|．
（3）由G（x）=f（x）-x+2=

x

x-1

，令A=G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）=

4

3

×

6

5

×…×

2n

2n-1

，由不等式

b

a

＞

b+m

a+m

（b＞a，a，b，m∈R⁺），得

4

3

＞

5

4

，

6

5

＞

7

6

，…，

2n-2

2n-3

＞

2n-1

2n-2

，

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

．由此能夠證明G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞

2n+1

2

．

解答：解：（1）函數f（x）的圖象按向量

e

=(-1，0)
平移后得到的圖象所對應的函數式為g(x)=f(x+1)=

ax2+1

bx+c

因為圖象關于原點對稱，∴g（-x）=-g（x），即

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

∵a∈N，∴ax²+1＞0，b（-x）+c=bx+c，∴c=0
∵f（2）=2，∴a=2b-1，又f（3）＜3，∴4a+1＜6b由條件知a=1，b=1
（2）∵f（x）=

(x-1)2+1

x-1

，∴f（tx+1）=tx+

1

tx

∴|f（tx+1）|=|tx+

1

tx

|=|tx|+|

1

tx

|≥2

|tx|•| 1 tx |

=2
當且僅當|tx|=1時等號成立．
但0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，∴|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2．
由于S=（|t+x|+|t-x|）²=2（t²+x²）+2|t²-x²|
當|t|≥|x|時，S=4t²≤4；當|t|＜|x|時S=4x²＜4．
∴|t+x|+|t-x|≤2＜|f（tx+1）|，即|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（3）由（1）知：G（x）=f（x）-x+2=

x

x-1

令A=G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）=

4

3

×

6

5

×…×

2n

2n-1

由不等式

b

a

＞

b+m

a+m

（b＞a，a，b，m∈R⁺），
得

4

3

＞

5

4

，

6

5

＞

7

6

，…，

2n-2

2n-3

＞

2n-1

2n-2

，

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

將這些同向不等式相乘得
A＞

5

4

×

7

6

×…×

2n-1

2n-2

×

2n+1

2n

A2＞

4

3

×

5

4

×

6

5

×

7

6

×…×

2n

2n-1

×

2n+1

2n

=

2n+1

3

＞

2n+1

4

故A＞

2n+1

2

，即G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞

2n+1

2

．

點評：本題考查不等式的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．