Question

（2012•昌圖縣模擬）設函數f（x）=2cos²x+

3

sin2x．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）當x∈[-

π

4

，

π

3

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡函數f（x）的解析式為 2sin（2x+

π

6

）+1，由此求得 函數f（x）的最小正周期，再令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，
即可得到函數的單調遞增區間．
（Ⅱ）由 x∈[-

π

4

π

3

]求得2x+

π

6

的范圍，可得sin（2x+

π

6

）的范圍，從而求得f（x）的值域．

解答：解：（1）函數f（x）=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴函數f（x）的最小正周期為

2π

2

=π．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z．
所以函數的單調遞增區間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈z．…（8分）
（Ⅱ）當 x∈[-

π

4

 

π

3

]時，-

π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的值域為[1-

3

，3]．…（12分）

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應用，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．