Question

如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱中，P是側棱上的一點，. （1）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60º；（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的m，⊥AP，并證明你的結論.

Answer 1

解:（１）建立如圖所示的空間直角坐標系，則

A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),

B₁(1,1,1),  D₁(0,0,2).

所以

又由的一個法向量.

設與所成的角為，

則=，解得.

故當時，直線AP與平面所成角為60º.    …………………………5分（２）若在上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為x，則.依題意，對任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP. 等價于

即Q為的中點時，滿足題設的要求.                 ………………………10分