Question

必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱中，P是側棱上的一點，.

（1）當時，求直線AP與平面BDD1B1所成角的度數；

（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的m，⊥AP，并證明你的結論.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）60º

（2）Q為的中點時

【解析】（１）建立如圖所示的空間直角坐標系，則

A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),

B1(1,1,1),  D1(0,0,2).

所以

又由的一個法向量.

設與所成的角為，

則=，

解得.故當時，直線AP與平面所成角為60º.  ………5分

（２）若在上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為x，

則.

依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等價于

即Q為的中點時，滿足題設的要求.                 ……………10分