Question

在1與2之間插入n個正數a₁，a₂，a₃，…，a_n，使這n+2個數成等比數列；又在1與2之間插入n個正數b₁，b₂，b₃…，b_n，使這個n+2個數成等差數列．記A_n=a₁a₂a₃…a_n，Bn=b₁+b₂+b₃+…+b_n．（1）求數列{A_n}和{B_n}的通項；（2）當n³7時，比較A_n與B_n的大小，并證明你的結論．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：∵ 1，a1，a2，a3…an，2成等比數列，∴ a1an=a2an-1=a3an-2=…akan-k+1=…1´2=2 ，∴ =(a1an)(a2an-1) (a3an-2)…(an-1a2)(ana1)=(1´2)n=2n ∴   又∵ 1，b1，b2，b3，…bn，2成等差數列，∴ b1+bn=1+2=3，∴ 所以，數列{An}的通項，數列{Bn}的通項． （2）∵ ，，∴ ，，要比較An與Bn的大小，只需比較與的大小，也即比較當n³7時，2n與的大小．當n=7時，，，得知，經驗證n=8，n=9時，均有命題成立．猜想當n³7時有．用數學歸納法證明． （1）當n=7時，已驗證，命題成立． （2）假設n=k(k³7)時，命題成立，即，那么，又當k³7時，有k2>2k+1 ∴ ，這就是說，當n=k+1時，命題成立． 根據（1）、（2），可知命題對于n³7都成立．故當n³7時，An>Bn．