Question

在1與2之間插入n個正數a₁,a₂,a₃,…,a_n,使這n+2個數成等比數列；又在1與2之間插入n個正數b₁,b₂,b₃,…,b_n，使這n+2個數成等差數列.記A_n=a₁a₂a₃…a_n,B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n.

(1)求數列{A_n} 和{B_n}的通項；

(2)當n≥7時，比較A_n與B_n的大小，并證明你的結論.

Answer 1

解析：(1)因為1，a₁,a₂,a₃,…,a_n，2成等比數列，

所以a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_ka_n-k+1=…=1×2=2,

所以A_n²=(a₁a_n)(a₂a_n-1)(a₃a_n-2)…

(a_n-1a₂)(a_na₁)=(1×2)ⁿ=2ⁿ,所以A_n=.

因為1,b₁,b₂,b₃,…,b_n，2成等差數列，所以b₁+b_n=1+2=3,所以B_n=·n=n.

所以，數列{A_n}的通項A_n=，數列{B_n}的通項B_n=n.

(2)A_n=,B_n=n,

猜想當n≥7時有2ⁿ＞n²，用數學歸納法證明.

①當n=7時，已驗證2ⁿ＞n²，命題成立.

②假設n=k(k≥7)時，命題成立，即2^k＞k²,

那么2^k+1＞2×k²,

又當k≥7時，有k²＞2k+1,

所以2^k+1＞(k²+2k+1)=(k+1)².

這就是說當n=k+1時，命題2ⁿ＞n²成立.

根據①②可知命題對n≥7都成立，故當n≥7時，A_n＞B_n.