Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，n∈N．
（1）若函數(shù)f（x）=Asin（2x+ϕ）（A＞0，0＜ϕ＜π）在x=$\frac{π}{6}$處取得最大值a₄+1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$上的值域．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由a_na_n+1=2ⁿ，求出a₂，a₃，a₄，可得A，運用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求值域；
（2）討論n為奇數(shù)，n為偶數(shù)，運用等比數(shù)列的通項公式，即可得到所求通項．

解答 解：（1）∵${a_n}{a_{n+1}}={2^n}$，
則${a_{n+1}}{a_{n+2}}={2^{n+1}}$，
相除$\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=2$，
又a₁=1，故${a_1}{a_2}={2^1}⇒{a_2}=2$，
∴a₃=2，a₄=4，
∴A=a₄+1=5，故f（x）=5sin（2x+ϕ）
又$x=\frac{π}{6}$時，f（x）_max=5，
∴$sin（\frac{π}{3}+ϕ）=1$，且0＜ϕ＜π解得：$ϕ=\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=5sin（2x+\frac{π}{6}）$，
而$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，故$2x+\frac{π}{6}∈[0，\frac{7π}{6}]$，
從而sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
可得：$f（x）∈[-\frac{5}{2}，5]$；
（2）由（1）得：a₁=1，a₂=2，$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，${a_n}={a_1}×{2^{\frac{n-1}{2}}}={2^{\frac{n-1}{2}}}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時，${a_n}={a_2}×{2^{\frac{n-2}{2}}}={2^{\frac{n}{2}}}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}，n為奇數(shù)}}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，注意運用數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用分類討論思想方法和等比數(shù)列的通項公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．