Question

【題目】已知數列{an}中，已知a1=1，a2=a，an+1=k（an+an+2）對任意n∈N*都成立，數列{an}的前n項和為Sn ．
（1）若{an}是等差數列，求k的值；
（2）若a=1，k=﹣ ，求Sn；
（3）是否存在實數k，使數列{am}是公比不為1的等比數列，且任意相鄰三項am ， am+1 ， am+2按某順序排列后成等差數列？若存在，求出所有k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵{an}是等差數列，則2an+1=an+an+2對任意n∈N*都成立，

又an+1=k（an+an+2）對任意n∈N*都成立，

∴k=

（2）解：∵an+1= （an+an+2），an+2+an+1=﹣（an+1+an），

an+3+an+2=﹣（an+2+an+1）=an+1+an，

當n是偶數時，

Sn=a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）= （a1+a2）= （a+1），

當n是奇數時，

Sn=a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an），

=a1+ （a2+a3）=a1+ [﹣（a1+a2）]=1﹣ （a+1），n=1也適合上式．

綜上可得，Sn=

（3）解：方法一：假設存在實數k，使數列{am}是公比不為1的等比數列，且任意相鄰三項am，am+1，am+2按某順序排列后成等差數列．am，am+1，am+2分別表示為：am，amq， ．

只考慮：1，q，q2（q≠1）的三種排列即可：

1，q，q2；1，q2，q；q2，1，q．可得2q=1+q2，2q2=1+q；2=q2+q．

分別解得q=1；q=1或﹣ ；q=1或q=﹣2．

∴只有q=﹣2滿足條件．∴相鄰三項am，am+1，am+2分別為：am，﹣2am，4am．

∴﹣2am=k（am+4am）．解得k=﹣ ．

方法二：設數列{am}是等比數列，則它的公比q= =a，則am=am﹣1，am+1=am，am+2=am+1，…6分 ①若am+1為等差中項，則2am+1=am+am+2，即2am=am﹣1+am+1，解得：a=1，不合題意；

②若am為等差中項，則2am=am+1+a+2，即2am﹣1=am+am+1，化簡得：a2+a﹣2=0，

解得：a=﹣2或a=1（舍）；k= = = =﹣ ；

③若am+2為等差中項，2am+2=am+am+1，即2am+1=am﹣1+am，化簡得：2a2﹣a﹣1=0，

解得a=﹣ ；k= = = =﹣ ；

綜上可得，滿足要求的實數k有且僅有一個，k=﹣

【解析】（1）由等差數列等差中項的性質即可求得k的值；（2）由an+1= （an+an+2），an+2+an+1=﹣（an+1+an），an+3+an+2=﹣（an+2+an+1）=an+1+an ， 分類，根據n為偶數或奇數時，分組，即可求得Sn；（3）方法一：由題意根據等比數列的性質，分別求得q的值，求得任意相鄰三項的順序，即可求得k的值，方法二：分類，根據等差數列的性質，求得a的值，即可求得k的值．
【考點精析】本題主要考查了等差數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握通項公式：或；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．