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設y=f(x)為定義在區間I上的函數,若對I上任意兩個實數x1,x2都有f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]
成立,則f(x)稱為I上的凹函數.
(1)判斷f(x)=
3
x
(x>0)
是否為凹函數?
(2)已知函數f2(x)=x|ax-3|(a≠0)為區間[3,6]上的凹函數,請直接寫出實數a的取值范圍(不要求寫出解題過程);
(3)設定義在R上的函數f3(x)滿足對于任意實數x,y都有f3(x+y)=f3(x)•f3(y).求證:f3(x)為R上的凹函數.
(1)f(x)是凹函數,證明如下:
?x1,x2∈(0,+∞),∵
1
2
[f(x1)+f(x2)]
=
1
2
(
3
x1
+
3
x2
)
3
x1x2
3
x1+x2
2
=f(
x1+x2
2
)

f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]

f(x)=
3
x
(x>0)
是凹函數
(2)∵函數f2(x)=x|ax-3|=
ax2-3x    ax≥3
-ax2+3x  ax<3

結合二次函數的圖象,要想使函數f2(x)為區間[3,6]上的凹函數,需a<0或
a>0
3
a
≤3

∴a的取值范圍為(-∞,0)∪[1,+∞)
(3)證明:設?x1,x2∈R
f3(x1)+f3(x2)=f3(
x1
2
+
x1
2
)+f3(
x2
2
+
x2
2
)

=f32(
x1
2
)+f32(
x2
2
)≥2f3(
x1
2
)•f3(
x2
2
)=2f3(
x1+x2
2
)

f3(x1)+f3(x2)
2
f3(
x1+x2
2
)

故f3(x)為R上的凹函數
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設y=f(x)是定義在區間(a,b)(b>a)上的函數,若對?x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,則稱y=f(x)是區間(a,b)上的平緩函數.
(1)試證明對?k∈R3,f(x)=x2+kx+14都不是區間(-1,1)5上的平緩函數;
(2)若f(x)是定義在實數集R上的、周期為T=2的平緩函數,試證明對?x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設y=f(x)是定義在R上的函數,給定下列三個條件:
(1)y=f(x)是偶函數;
(2)y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱;
(3)T=2為y=f(x)的一個周期.
如果將上面(1)、(2)、(3)中的任意兩個作為條件,余下一個作為結論,那么構成的三個命題中真命題的個數有
3
3
個.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設y=f(x)為定義在區間I上的函數,若對I上任意兩個實數x1,x2都有f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]
成立,則f(x)稱為I上的凹函數.
(1)判斷f(x)=
3
x
(x>0)
是否為凹函數?
(2)已知函數f2(x)=x|ax-3|(a≠0)為區間[3,6]上的凹函數,請直接寫出實數a的取值范圍(不要求寫出解題過程);
(3)設定義在R上的函數f3(x)滿足對于任意實數x,y都有f3(x+y)=f3(x)•f3(y).求證:f3(x)為R上的凹函數.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

設y=f(x)為定義在區間I上的函數,若對I上任意兩個實數x1,x2都有數學公式成立,則f(x)稱為I上的凹函數.
(1)判斷數學公式是否為凹函數?
(2)已知函數f2(x)=x|ax-3|(a≠0)為區間[3,6]上的凹函數,請直接寫出實數a的取值范圍(不要求寫出解題過程);
(3)設定義在R上的函數f3(x)滿足對于任意實數x,y都有f3(x+y)=f3(x)•f3(y).求證:f3(x)為R上的凹函數.

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