Question

設(shè)y=f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂都有成立，則f（x）稱為I上的凹函數(shù)．
（1）判斷是否為凹函數(shù)？
（2）已知函數(shù)f₂（x）=x|ax-3|（a≠0）為區(qū)間[3，6]上的凹函數(shù)，請直接寫出實(shí)數(shù)a的取值范圍（不要求寫出解題過程）；
（3）設(shè)定義在R上的函數(shù)f₃（x）滿足對于任意實(shí)數(shù)x，y都有f₃（x+y）=f₃（x）•f₃（y）．求證：f₃（x）為R上的凹函數(shù)．

Answer 1

解：（1）f（x）是凹函數(shù)，證明如下：
?x₁，x₂∈（0，+∞），∵==
∴，
∴是凹函數(shù)
（2）∵函數(shù)f₂（x）=x|ax-3|=
結(jié)合二次函數(shù)的圖象，要想使函數(shù)f₂（x）為區(qū)間[3，6]上的凹函數(shù)，需a＜0或
∴a的取值范圍為（-∞，0）∪[1，+∞）
（3）證明：設(shè)?x₁，x₂∈R

=
即≥
故f₃（x）為R上的凹函數(shù)
分析：（1）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/108664.png' />=，所以利用均值定理即可得證
（2）利用凹函數(shù)的圖象性質(zhì)及函數(shù)f₂（x）=x|ax-3|的圖象特點(diǎn)，可得a的取值范圍
（3）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/436060.png' />，利用已知抽象表達(dá)式，結(jié)合均值定理即可證明f₃（x）為R上的凹函數(shù)
點(diǎn)評：本題考查了抽象函數(shù)表達(dá)式的意義和作用，代數(shù)變形和邏輯推理能力，數(shù)形結(jié)合的思想方法