Question

函數f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：
①對任意x∈R，有f（x）＞0； ②對任意x、y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；  ③．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）在R上是單調增函數；
（3）若f（2）=2，且x滿足，求函數的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=0，y=2，代入可得答案；
（2）設，，作差后由函數的性質可判單調性；
（3）由（2）及已知條件化簡所給函數，由函數的單調性可得最值．
解答：解：（1）令x=0，y=2，得：f（0）=[f（0）]²，∵f（0）＞0，∴f（0）=1．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，設，，則p₁＜p₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（）-f（）=
∵，p₁＜p₂，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是單調增函數；
（3）由（2）及知，，
又f（2log₂x）===x，
于是y=2x+=2（x+）在[，]上單調遞減，在[，2]上單調遞增，
f（）=3，f，2）=，因此最大值為x=2時，y=，最小值為x=時，y=2
綜上所述，的最大值為，，最小值為2
點評：本題為抽象函數的綜合應用，涉及函數的單調性和最值，屬中檔題．