Question

已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，求y=[f（x）]²+f（x²）的最大值及y取最大值時x的值．

Answer 1

分析：由f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，可得y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x）²+6log₃x+6，且

1≤x≤9 1≤x2≤9

即1≤x≤3，則t∈[0，1]，令t=log₃x，則t∈[0，1]，從而有y=t²+6t+6=（t+3）²-3，結合二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最大值及取得最大值的x

解答：解：∵f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=（2+log₃x）²+（2+log₃x²）
=（log₃x）²+6log₃x+6，令t=log₃x
由題意可得

1≤x≤9 1≤x2≤9

即1≤x≤3，則t∈[0，1]
∴y=t²+6t+6=（t+3）²-3在[0，1]上單調(diào)遞增
當t=1即x=3時，函數(shù)有最大值，y_max=13

點評：本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)的應用，二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求解，解答本題時容易漏掉考慮復合函數(shù)的定義域，還把所求的函數(shù)的定義域當作1≤x≤9，而出現(xiàn)最大值為22