Question

正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知AB＝2，E、F分別是D₁B、AD的中點，．

(1)建立適當的坐標系，求點E的坐標；

(2)證明：EF⊥面D₁BC；

(3)求二面角D₁－BF－C的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖建立空間直角坐標系，設DD1=a，則D(0，0，0)，D1(0，0，a)，C(0，2，0)，B(2，2，0) 　　，則，，由得，解得a=2，故點E的坐標為(1，1，1)(4分); 　　(2)由(1)知:，， 　　又=2－2=0，=0 　　， 　　又D1BBC=B，EF面D1BC(8分); 　　(3)由D向BF的延長線作垂線，垂足為M，連結D1M，則D1MBF 　　則為二面角D1－FB－C的平面角 　　在中，BF=，又　，所以 　　，在中，tan= 　　cos=，故二面角D1－FB－C的平面角的余弦值為(12分)