Question

若S_n=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

nπ

7

（n∈N^*），在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正數的個數是

86

．

Answer 1

分析：由sin

π

7

＞0，sin

2π

7

＞0，…，sin

6π

7

＞0，sin

7π

7

=0，sin

8π

7

＜0，…，sin

13π

7

＜0，sin

14π

7

=0，可得到S₁＞0，…S₁₃＞0，而S₁₄=0，從而可得到周期性的規律，從而得到答案．

解答：解：∵sin

π

7

＞0，sin

2π

7

＞0，…，sin

6π

7

＞0，sin

7π

7

=0，sin

8π

7

＜0，…，sin

13π

7

＜0，sin

14π

7

=0，
∴S₁=sin

π

7

＞0，
S₂=sin

π

7

+sin

2π

7

＞0，
…，
S₈=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

6π

7

+sin

7π

7

+sin

8π

7

=sin

2π

7

+…+sin

6π

7

+sin

7π

7

＞0，
…，
S₁₂＞0，
而S₁₃=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

6π

7

+sin

7π

7

+sin

8π

7

+sin

9π

7

+…+sin

13π

7

=0，
S₁₄=S₁₃+sin

14π

7

=0+0=0，
又S₁₅=S₁₄+sin

15π

7

=0+sin

π

7

=S₁＞0，S₁₆=S₂＞0，…S₂₇=S₁₃=0，S₂₈=S₁₄=0，
∴S_14n-1=0，S_14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7項，
∴在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，為0的項共有14項，其余項都為正數．
故在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正數的個數是86．
故答案為：86．

點評：本題考查數列與三角函數的綜合，通過分析sin

nπ

7

的符號，找出S₁，S₂，…，S₁₀₀中，S_14n-1=0，S_14n=0是關鍵，也是難點，考查學生分析運算能力與冷靜堅持的態度，屬于難題．