Question

附加題（10分，總分120以上有效）
（1）設函數f（x）=（x-3）³+x-1，{a_n}是公差不為0的等差數列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，則a₁+a₂+…+a₇=

21

（2）若S_n=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

nπ

7

（n∈N⁺），則在S₁，S₂，…S₁₀₀中，正數的個數是

86

．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）=（x-3）³+x-1，可得f（x）-2=（x-3）³+x-3，構造函數g（x）=f（x）-2，從而g（x）關于（3，0）對稱，利用f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，從而g（a₄）為g（x）與x軸的交點，由此可求a₁+a₂+…+a₇的值．
（2）由sin

π

7

＞0，sin

2π

7

＞0，…，sin

6π

7

＞0，sin

7π

7

=0，sin

8π

7

＜0，…，sin

13π

7

＜0，sin

14π

7

=0，可得到S₁＞0，…S₁₃＞0，而S₁₄=0，從而可得到周期性的規律，從而得到答案．

解答：解：（1）解：∵f（x）=（x-3）³+x-1，∴f（x）-2=（x-3）³+x-3，
令g（x）=f（x）-2，
∴g（x）關于（3，0）對稱，
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，
∴f（a₁）-2+f（a₂）-2+…+f（a₇）-2=0
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，
∴g（a₄）為g（x）與x軸的交點，
因為g（x）關于（3，0）對稱，所以a₄=3，
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，
故答案為：21．
（2）解：∵sin

π

7

＞0，sin

2π

7

＞0，…，sin

6π

7

＞0，sin

7π

7

=0，sin

8π

7

＜0，…，sin

13π

7

＜0，sin

14π

7

=0，
∴S₁=sin

π

7

＞0，
S₂=sin

π

7

+sin

2π

7

＞0，…，
S₈=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

6π

7

+sin

7π

7

+sin

8π

7

=sin

2π

7

+…+sin

6π

7

+sin

7π

7

＞0，
…，
S₁₂＞0，
而S₁₃=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

6π

7

+sin

7π

7

+sin

8π

7

+sin

9π

7

+…+sin

13π

7

=0，
S₁₄=S₁₃+sin

14π

7

=0+0=0，
又S₁₅=S₁₄+sin

15π

7

=0+sin

π

7

=S₁＞0，S₁₆=S₂＞0，…S₂₇=S₁₃=0，S₂₈=S₁₄=0，
∴S_14n-1=0，S_14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7項，
∴在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，為0的項共有14項，其余項都為正數．
故在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正數的個數是86．
故答案為：86．

點評：題考查數列與函數的綜合，數列與三角函數的綜合，考查函數的對稱性，考查數列的性質，考查學生分析問題解決問題的能力．