Question

（附加題）是否存在常數c，使得不等式
對于任意正數x，y，z恒成立？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：利用x=y=z時，猜測常數c，左邊不等式利用換元法，再利用基本不等式可證；右邊不等式的證明，用柯西不等式、分析法證明即可．
解答：解：猜測常數（可以猜測等號當且僅當x=y=z時成立）
左邊不等式的證明方法，令，則，
∴左邊=
右邊不等式的證明用柯西不等式證明，證法如下：
右邊=
=，
于是要證明右邊不等式成立，只需證明，
即證4（x+y+z）²≥3[x²+y²+z²+3（xy+yz+xz）}
即證：x²+y²+z²≥xy+yz+xz
即證：（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²≥0
顯然成立，故問題得證．
點評：本題的考點是分析法與綜合法，考查利用分析法證明不等式，考查基本不等式的運用，注意分析法的證題步驟是解題的關鍵．